Algebra - Blatt 11 - WS09

%hide %latex \textbf{Aufgabe 1:} Bestimmen Sie experimentell den Prozentsatz der Polynome in $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, die irreduzibel sind. 

%hide %latex \textbf{Aufgabe 2:} Beweisen Sie, dass $f(x) := x^4 + 5x^3+10x^2+25x + 5$ in $\mathbb{Q}[x]$ irreduzibel ist. (Hinweis: betrachten Sie die Reduktion von $f$ modulo $5$ und schliessen sie auf die Gestalt der potentiellen Faktoren von $f$.) 

%hide %latex \textbf{Aufgabe 3:} Zeigen Sie, dass $\det\begin{pmatrix} x&y\\ z&w\end{pmatrix}$ in $\mathbb{C}[x,y,z,w]$ irreduzibel ist. 

%hide %latex \textbf{Aufgabe 4:} Sei $I$ das von $2$ und $x^2+x+1$ in $\mathbb{Z}[x]$ erzeugte Ideal. Zeigen Sie, dass die Polynome $ax+b$ ($0\le a,b\le 1$) ein vollstaendiges Repraesentantensystem fuer $\mathbb{Z}[x]/I$ bilden. Zeigen Sie damit, dass $\mathbb{Z}[x]/I$ ein Koerper ist. 

%hide %latex \textbf{Aufgabe 5:} Finden Sie mittels SAGE 10 paarweise nicht assoziierte irreduzible Polynome in $\mathbb{Q}[x]$ vom Grad 5. 

%hide %latex \textbf{Hinweise:} \begin{itemize} \item Abgabe der Blaetter 9, 10 und 11 und des Jokerblattes am 20. Januar zu Beginn der Uebung. \item Am 12., 13. und 16. Januar ist Vorlesung. \item Am 20. Januar ist Uebung. \item Der Rechentest 2 findet am 23. Januar statt. \end{itemize}